已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,a_2=\dfrac 12$，且对任意整数 $n>2$ 均有$$n\left(n+1\right)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=\left(n+1\right)^2a_{n+1}a_{n-1}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项；标注答案$a_n=\dfrac{1}{n!}$，$n\in\mathbb N^*$解析根据已知，有$$\dfrac{1}{a_{n-1}}+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}=\dfrac{n+1}{na_n},$$即$$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}},$$从而可得$$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=0,$$于是 $a_n=\dfrac{1}{n!}$，$n\in\mathbb N^*$．
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对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac 2{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\dfrac 1{\sqrt n}$．标注答案略解析欲证明的不等式等价于$$n^n<n!\cdot n!<\left(\dfrac{n+1}2\right)^{2n}.$$由于当 $k=1,2,\cdots ,n$ 时，有$$n\leqslant k\cdot (n+1-k)\leqslant \left(\dfrac{n+1}2\right)^2,$$将以上各式累乘可得$$n^n\leqslant n!\cdot n!\leqslant \left(\dfrac{n+1}2\right)^{2n},$$显然等号无法取得，因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
