已知 $A,B,C$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的三个定点，$O$ 为坐标原点，且直线 $OC$ 平分弦 $AB$．$P$ 为椭圆 $E$ 上的动点，直线 $PA,PB$ 分别交直线 $OC$ 于点 $M,N$，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$ 是否为定值？若为定值，求出该定值并证明；若不为定值，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
为定值 $1$，证明略
【解析】
注意到 $O,M,N,C$ 四点共线，因此在伸缩变换 $x=x',y=\dfrac{b}{a}y'$ 下，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$ 的值不会改变．因此只需要求出在圆 $x'^2+y'^2=a^2$ 中对应的值即可．
由于圆的对称性，可以旋转图形使得直线 $OC'$ 与 $x$ 轴重合，如图．
设 $A'(x_1,y_1)$，$B'(x_1,-y_1)$，$P'(x_2,y_2)$，则$$\begin{split} \dfrac{|OM'|\cdot |ON'|}{|OC'|^2}=&\left|\dfrac{\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}\cdot \dfrac{x_1y_2+x_2y_1}{y_2+y_1}}{a^2}\right|\\=&\left|\dfrac{(a^2-y_1^2)y_2^2-(a^2-y_2^2)y_1^2}{a^2(y_2^2-y_1^2)}\right|=1,\end{split} $$为定值．因此在原问题中，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$ 为定值 $1$．
由于圆的对称性，可以旋转图形使得直线 $OC'$ 与 $x$ 轴重合，如图．
设 $A'(x_1,y_1)$，$B'(x_1,-y_1)$，$P'(x_2,y_2)$，则$$\begin{split} \dfrac{|OM'|\cdot |ON'|}{|OC'|^2}=&\left|\dfrac{\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}\cdot \dfrac{x_1y_2+x_2y_1}{y_2+y_1}}{a^2}\right|\\=&\left|\dfrac{(a^2-y_1^2)y_2^2-(a^2-y_2^2)y_1^2}{a^2(y_2^2-y_1^2)}\right|=1,\end{split} $$为定值．因此在原问题中，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$ 为定值 $1$．
答案
解析
备注
