已知圆 $O:x^2+y^2=4$，$F(0,2)$，点 $A,B$ 是圆 $O$ 上的动点，且 $|FA|\cdot |FB|=4$，是否存在与动直线 $AB$ 恒相切的定圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，圆的方程为 $x^2+(y-2)^2=1$
【解析】
设 $A(2\cos 2\alpha,2\sin 2\alpha)$，$B(2\cos 2\beta,2\sin 2\beta)$，则\[\begin{split} |FA|\cdot |FB|&=\sqrt{(2\cos 2\alpha)^2+(2\sin 2\alpha-2)^2}\cdot \sqrt{(2\cos 2\beta)^2+(2\sin 2\beta-2)^2}\\ &=\sqrt{8-8\sin 2\alpha}\cdot \sqrt{8-8\sin 2\beta}\\ &=8\left|(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)\right|\\ &=8\left|\cos(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)\right|,\end{split}\]另一方面，直线 $AB$ 的方程为$$x\cos(\alpha+\beta)+y\sin(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha-\beta)=0,$$因此点 $F(0,2)$ 到直线 $AB$ 的距离为$$\dfrac{2|\sin(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)|}{\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)}}=\dfrac 14|FA|\cdot |FB|=1,$$为定值，于是定圆 $F:x^2+(y-2)^2=1$ 与动直线 $AB$ 恒相切．
答案
解析
备注
