给定双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$，过它的一个焦点作直线 $l$，交 $C$ 于点 $P$ 和 $Q$，$A_1,A_2$ 分别为 $C$ 的实轴端点，求 $PA_1$ 与 $QA_2$ 的交点的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x=\pm \dfrac{a^2}c$
【解析】
设 $P(a\sec 2\alpha,b\tan 2\alpha)$，$Q(a\sec 2\beta,b\tan 2\beta)$，不妨设 $A_{1}(a,0),A_{2}(-a,0)$，则根据双曲线的参数方程，直线 $PA_1$ 与直线 $QA_2$ 的方程分别为$$\begin{cases} PA_1:&\cos\alpha\cdot\dfrac xa-\sin\alpha\cdot\dfrac yb=\cos\alpha,\\ QA_2:&\sin\beta\cdot \dfrac xa-\cos\beta\cdot \dfrac yb=-\sin\beta,\end{cases}$$联立可得$$x=\dfrac{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}\cdot a,$$从而有$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{a-c}{a+c}$$或$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{a+c}{a-c},$$于是直线 $PA_1$ 与 $QA_2$ 的交点的轨迹方程为 $x=\pm \dfrac{a^2}c$．
答案
解析
备注
