已知方程 $x^2-2a\sin (\cos x)+a^2=0$ 有唯一实数解，求参数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{0,2\sin 1\}$
【解析】
由于函数 $f(x)=x^2-2a\sin (\cos x)+a^2$ 是 $\mathbb R$ 上的偶函数，于是 $f(x)$ 的唯一实数解只有可能是 $x=0$，于是 $a=0$ 或 $a=2\sin 1$．
当 $a=0$ 时，方程即 $x^2=0$，符合题意；
当 $a=2\sin 1$ 时，有$$f(x)=x^2+2a\left[\sin 1-\sin (\cos x)\right],$$由于$$-\dfrac{\mathrm \pi} 2<-1\leqslant \cos x\leqslant 1<\dfrac{\mathrm \pi} 2,$$因此 $\sin(\cos x)\leqslant \sin 1$，等号当且仅当 $\cos x=1$ 时取得，因此 $f(x)\geqslant 0$，等号当且仅当 $x=0$ 时取得，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\{0,2\sin 1\}$．
当 $a=0$ 时，方程即 $x^2=0$，符合题意；
当 $a=2\sin 1$ 时，有$$f(x)=x^2+2a\left[\sin 1-\sin (\cos x)\right],$$由于$$-\dfrac{\mathrm \pi} 2<-1\leqslant \cos x\leqslant 1<\dfrac{\mathrm \pi} 2,$$因此 $\sin(\cos x)\leqslant \sin 1$，等号当且仅当 $\cos x=1$ 时取得，因此 $f(x)\geqslant 0$，等号当且仅当 $x=0$ 时取得，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\{0,2\sin 1\}$．
答案
解析
备注
