已知 $a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}$，求证：$a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac{n^2}{n+1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
分析\[\begin{split} a_n>\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{(n-1)^2}{n}&\Leftarrow \dfrac{3^n}{3^n+2}>\dfrac{n^3-(n-1)^2(n+1)}{n(n+1)}\\ &\Leftarrow 3^n>2n^2+2n-2\\ &\Leftarrow n\geqslant 3,\end{split}\]因此有当 $n\geqslant 3$ 时，有\[\begin{split} a_1+a_2+\cdots a_n&>\dfrac 35+\dfrac 9{11}+\left(\dfrac {3^2}4-\dfrac {2^2}3\right)+\cdots +\left[\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{(n-1)^2}{n}\right]\\ &=\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac 43+\dfrac 35+\dfrac 9{11}\\ &=\dfrac{n^2}{n+1}+\dfrac{14}{165}>\dfrac{n^2}{n+1},\end{split}\]而当 $n=1,2$ 时命题显然成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
