求证：当 $x\in [0,2]$ 时，不等式 $\dfrac{{\rm e}^x}{x^2-x+1}>x$ 恒成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用 ${\rm e}^x$ 的泰勒展开$${\rm e}^x=1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3+\cdots+\dfrac{1}{n!}\cdot x^n+\cdots,$$可得当 $x\geqslant 0$ 时，有$${\rm e}^x\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3,$$利用该不等式放缩，只需要证明$$5x^3-9x^2-6<0,$$即$$(x-2)(5x^2+x+2)-2<0,$$这显然成立，于是原命题得证．
答案
解析
备注
