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已知点 $F$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{1+a^2}+y^2=1(a>0)$ 的右焦点，点 $M(m,0)$、$N(0,n)$ 分别是 $x$ 轴、$y$ 轴上的动点，且满足 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NF}=0$．若点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{PO}$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
  1. 求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
    标注
    答案
    $y^2=4ax$
    解析
    因为椭圆 $\dfrac{x^2}{1+a^2}+y^2=1(a>0)$ 右焦点 $F$ 的坐标为 $(a,0)$，所以 $\overrightarrow{NF}=(a,-n)$．又因为 $\overrightarrow{MN}=(-m,n)$，所以由$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NF}=0,$$得$$n^2+am=0.$$设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，由 $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{PO}$，有$$(m,0)=2(0,n)+(-x,-y),$$则$$\begin{cases}m=-x,\\n=\dfrac y 2.\end{cases}$$代入 $n^2+am=0$，得 $y^2=4ax$．
  2. 设过点 $F$ 任作一直线与点 $P$ 的轨迹交于 $A$、$B$ 两点，直线 $OA$、$OB$ 与直线 $x=-a$ 分别交于点 $S$、$T$（$O$ 为坐标原点），试判断 $\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
    标注
    答案
    是定值，且定值为 $0$
    解析
    方法一 设直线 $AB$ 的方程为 $x=ty+a,A\left(\dfrac{y_1^2}{4a},y_1\right),B\left(\dfrac{y_2^2}{4a},y_2\right)$．
    则 $l_{OA}:y=\dfrac{4a}{y_1}x,l_{OB}:y=\dfrac{4a}{y_2}x$．由$$\begin{cases}y=\dfrac{4a}{y_1}x,\\x=-a,\end{cases}$$得 $S\left(-a,-\dfrac{4a^2}{y_1}\right)$，同理可得 $T\left(-a,-\dfrac{4a^2}{y_2}\right)$．所以 $\overrightarrow{FS}=\left(-2a,-\dfrac{4a^2}{y_1}\right),\overrightarrow{FT}=\left(-2a,-\dfrac{4a^2}{y^2}\right)$，则$$\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}=4a^2+\dfrac{16a^4}{y_1y_2}.$$由$$\begin{cases}x=ty+a,\\y^2=4ax,\end{cases}$$得\[y^2-4aty-4a^2=0,\]所以 $y_1y_2=-4a^2$．则$$\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}=4a^2+\dfrac{16a^4}{-4a^2}=4a^2-4a^2=0.$$因此，$\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}$ 的值是定值，且定值为 $0$．
    方法二 ① 当 $AB \perp x$ 时，$A(a,2a)$、$B(a,-2a)$ 则 $l_{OA}:y=2x,l_{OB}:y=-2x$．
    由 $\begin{cases}y=2x,\\x=-a\end{cases}$ 得点 $S$ 的坐标为 $S(-a,-2a)$，则\[\overrightarrow{FS}=(-2a,-2a).\]由 $\begin{cases}y=-2x,\\x=-a\end{cases}$ 得点 $T$ 的坐标为 $T(-a,2a)$，则\[\overrightarrow{FT}=(-2a,2a).\]所以\[\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}=(-2a)\times(-2a)+(-2a)\times 2a=0.\]② 当 $AB$ 不垂直 $x$ 轴时，设直线 $AB$ 的方程为\[y=k(x-a)(k\ne 0),\]$A\left(\dfrac{y_1^2}{4a},y_1\right)$、$B\left(\dfrac{y_2^2}{4a},y_2\right)$，同方法一，得\[\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}=4a^2+\dfrac{16a^4}{y_1y_2}.\]由 $\begin{cases}y=k(x-a),\\y^2=4ax,\end{cases}$ 得\[ky^2-4ay-4ka^2=0,\]所以 $y_1y_2=-4a^2$．则\[\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}=4a^2+\dfrac{16a^4}{-4a^2}=4a^2-4a^2=0.\]因此，$\overrightarrow{FS}\cdot \overrightarrow{FT}$ 的值是定值，且定值为 $0$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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