求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt x$ 的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
最小值 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$，最大值 $11$
【解析】
函数的定义域为 $[0,13]$．
因为\[\begin{split}y&=\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\\&=\sqrt{x+27}+\sqrt{13+2\sqrt{x(13-x)}}\\&\geqslant \sqrt{27}+\sqrt{13}\\&=3\sqrt 3 +\sqrt{13},\end{split}\]当 $x=0$ 时等号成立，故 $y$ 的最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$．
由柯西不等式得\[\begin{split}y^2&=\left(\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\right)^2\\&\leqslant \left(\dfrac 12 +1+\dfrac 13\right)[2x+(x+27)+3(13-x)]\\&=121,\end{split}\]所以 $y\leqslant 11$．
由柯西不等式等号成立的条件，得$$4x=9(13-x)=x+27,$$解得 $x=9$，故当 $x=9$ 时等号成立，因此 $y$ 的最大值为 $11$．
因为\[\begin{split}y&=\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\\&=\sqrt{x+27}+\sqrt{13+2\sqrt{x(13-x)}}\\&\geqslant \sqrt{27}+\sqrt{13}\\&=3\sqrt 3 +\sqrt{13},\end{split}\]当 $x=0$ 时等号成立，故 $y$ 的最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$．
由柯西不等式得\[\begin{split}y^2&=\left(\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\right)^2\\&\leqslant \left(\dfrac 12 +1+\dfrac 13\right)[2x+(x+27)+3(13-x)]\\&=121,\end{split}\]所以 $y\leqslant 11$．
由柯西不等式等号成立的条件，得$$4x=9(13-x)=x+27,$$解得 $x=9$，故当 $x=9$ 时等号成立，因此 $y$ 的最大值为 $11$．
答案
解析
备注
