求证：当 $x\in [0,2]$ 时，不等式 $\dfrac{{\rm e}^x}{x^2-x+1}>x$ 恒成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
证明$$\forall x\in [0,2],\left(x^3-x^2+x\right)\cdot {\rm e}^{-x}<1$$即可．
设上述不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则\[\varphi'(x)=\left(-x^3+4x^2-3x+1\right)\cdot {\rm e}^{-x}.\]考虑到\[-x^3+4x^2-3x+1=x^2(2-x)+(2x-1)(x-1),\]于是当 $x\in[0,2]$ 时，$\varphi(x)$ 单调递增，因此其最大值为\[\varphi(2)=6{\rm e}^{-2}<2,\]命题成立．
设上述不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则\[\varphi'(x)=\left(-x^3+4x^2-3x+1\right)\cdot {\rm e}^{-x}.\]考虑到\[-x^3+4x^2-3x+1=x^2(2-x)+(2x-1)(x-1),\]于是当 $x\in[0,2]$ 时，$\varphi(x)$ 单调递增，因此其最大值为\[\varphi(2)=6{\rm e}^{-2}<2,\]命题成立．
答案
解析
备注
