已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上两点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且相交于点 $P$，求 $P$ 点的轨迹．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^2+y^2=a^2+b^2$
【解析】
设 $P(x_0,y_0)$，过 $P$ 点的切线方程为 $y-y_0=k(x-x_0)$ 即$$kx-y-kx_0+y_0=0,$$当 $k$ 分别取 $k_1$ 和 $k_2$ 时，对应的切线分别为 $PA$ 和 $PB$．
根据等效判别式，可得\[a^2k^2+b^2-\left(kx_0+y_0\right)^2=0,\]整理为关于 $k$ 的二次方程\[\left(a^2-x_0^2\right)k^2-2x_0y_0k+b^2-y_0^2=0.\]由 $k_1\cdot k_2=-1$，可得\[a^2-x_0^2+b^2-y_0^2=0,\]即\[x_0^2+y_0^2=a^2+b^2.\]因此所求 $P$ 点的轨迹是以椭圆的中心 $O$ 圆心，$\sqrt{a^2+b^2}$ 为半径的圆 $x^2+y^2=R^2$，其中 $R^2=a^2+b^2$．
根据等效判别式，可得\[a^2k^2+b^2-\left(kx_0+y_0\right)^2=0,\]整理为关于 $k$ 的二次方程\[\left(a^2-x_0^2\right)k^2-2x_0y_0k+b^2-y_0^2=0.\]由 $k_1\cdot k_2=-1$，可得\[a^2-x_0^2+b^2-y_0^2=0,\]即\[x_0^2+y_0^2=a^2+b^2.\]因此所求 $P$ 点的轨迹是以椭圆的中心 $O$ 圆心，$\sqrt{a^2+b^2}$ 为半径的圆 $x^2+y^2=R^2$，其中 $R^2=a^2+b^2$．
答案
解析
备注
