（15分）如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是底边 $BC$ 上一点，$P$ 是 $AD$ 上一点，且 $\triangle CPD$、$\triangle BPD$ 的外接圆分别交 $AC$、$AB$ 于点 $E$、$F$，$I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心．求证：当 $PD^2 = PE \cdot PF$ 时，$B$、$I$、$P$、$C$ 四点共圆．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，过点 $P$ 分别作 $PR \perp BC, PS \perp CA, PT \perp AB$，垂足分别为 $R$、$S$、$T$．由题设可知 $C$、$D$、$P$、$E$ 和 $B$、$D$、$P$、$F$ 分别四点共圆．所以$$\angle PDR = \angle PES =\angle PFT.$$所以$${\rm Rt} \triangle PDR \backsim {\rm Rt} \triangle PES \backsim {\rm Rt} \triangle PFT,$$故$$\dfrac{PD}{PR} = \dfrac{PE}{PS} = \dfrac{PF}{PT}.$$又因为 $PD^2 = PE \cdot PF$，所以 $PR^2 = PS \cdot PT$．
连结 $RS$、$RT$．易知 $B$、$R$、$P$、$T$ 和 $C$、$R$、$P$、$S$ 分别四点共圆．
所以$$\angle RPT = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \angle ACB = \angle RPS, \angle PRT = \angle PBT, \angle PCR = \angle PSR.$$因为 $PR^2 = PS \cdot PT$，即 $\dfrac{PR}{PS} = \dfrac{PT}{PR}$，所以$${\rm Rt} \triangle PRS \backsim {\rm Rt} \triangle PTR.$$故 $\angle PRT = \angle PSR$．所以 $\angle PBT = \angle PCR$．
又$$\angle PBT = \angle PBI + \angle IBA, \angle PCR = \angle PCI + \angle ICB.$$连结 $CI$．因为 $AB=AC, I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，则\[\angle IBA = \angle IBC = \angle ICB = \angle ICA.\]所以 $\angle PBI = \angle PCI$．因此，$B$、$I$、$P$、$C$ 四点共圆．
连结 $RS$、$RT$．易知 $B$、$R$、$P$、$T$ 和 $C$、$R$、$P$、$S$ 分别四点共圆．
所以$$\angle RPT = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \angle ACB = \angle RPS, \angle PRT = \angle PBT, \angle PCR = \angle PSR.$$因为 $PR^2 = PS \cdot PT$，即 $\dfrac{PR}{PS} = \dfrac{PT}{PR}$，所以$${\rm Rt} \triangle PRS \backsim {\rm Rt} \triangle PTR.$$故 $\angle PRT = \angle PSR$．所以 $\angle PBT = \angle PCR$．
又$$\angle PBT = \angle PBI + \angle IBA, \angle PCR = \angle PCI + \angle ICB.$$连结 $CI$．因为 $AB=AC, I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，则\[\angle IBA = \angle IBC = \angle ICB = \angle ICA.\]所以 $\angle PBI = \angle PCI$．因此，$B$、$I$、$P$、$C$ 四点共圆．
答案
解析
备注
