（14分）已知函数 $f(x) = \ln x + \dfrac a x(a \in \mathbb R)$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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判断 $f(x)$ 在定义域内的单调性；标注答案若 $a \leqslant 0$，则 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 单调递增；若 $a > 0$，$f(x)$ 在 $(0, a)$ 单调递减，在 $(a, +\infty)$ 单调递增解析$f'(x) = \dfrac 1 x -\dfrac a {x^2} = \dfrac{x-a}{x^2}$．
若 $a \leqslant 0$，则 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 单调递增；
若 $a > 0$，则 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 单调递减，在 $(a, +\infty)$ 单调递增． -
若 $f(x) <2x^2$ 在 $\left(\dfrac 1 2, +\infty\right)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left(-\infty,\dfrac 1 2 \ln 2+\dfrac 1 4\right]$解析$f(x) = \ln x + \dfrac a x <2x^2$ 在 $\left(\dfrac 1 2, +\infty\right)$ 恒成立，即$$a<-x \ln x + 2x^3.$$令 $g(x) = -x\ln x+2x^3, g'(x) = -1- \ln x+6x^2$；
令 $h(x) = g'(x) = -1-\ln x+6x^2$，当 $x>\dfrac 1 2$ 时，\[h'(x) = -\dfrac 1 x +12x=\dfrac {12x^2 - 1}{x}>0,\]故 $h(x)$ 在 $\left(\dfrac 1 2, +\infty\right)$ 单调递增，\[h(x)>h\left(\dfrac 1 2\right)=-1 - \ln \dfrac 1 2 +\dfrac 3 2 =\ln 2 + \dfrac 1 2 >0,\]即 $g'(x)>0$，所以\[g(x)>g\left(\dfrac 1 2\right)=-\dfrac 1 2 \ln \dfrac 1 2 +\dfrac 1 4 = \dfrac 1 2\ln 2 + \dfrac 1 4.\]所以 $a \leqslant \dfrac 1 2 \ln 2+\dfrac 1 4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
