求证：${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $LHS=f(x)$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-\dfrac 2x,$$于是其极小值点在 $(0,1)$ 内．
考虑到$$({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})'={\rm e}^x-{\rm e}^{-x},$$而$$({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})''={\rm e}^x+{\rm e}^{-x},$$于是考虑辅助不等式$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\geqslant 2+x^2.$$下面证明辅助不等式：
令 $g(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-x^2-2$．
求导可得$$g'(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x,$$进而$$g''(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-\leqslant 0,$$所以$$g'(x)>g(0)=0,$$于是$$g(x)>g(0)=0,$$即辅助不等式得证．
利用辅助不等式易得$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>2+x^2-2\ln x,$$而右侧函数的极小值点为 $x=1$，因此原命题得证．
考虑到$$({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})'={\rm e}^x-{\rm e}^{-x},$$而$$({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})''={\rm e}^x+{\rm e}^{-x},$$于是考虑辅助不等式$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\geqslant 2+x^2.$$下面证明辅助不等式：
令 $g(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-x^2-2$．
求导可得$$g'(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x,$$进而$$g''(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-\leqslant 0,$$所以$$g'(x)>g(0)=0,$$于是$$g(x)>g(0)=0,$$即辅助不等式得证．
利用辅助不等式易得$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>2+x^2-2\ln x,$$而右侧函数的极小值点为 $x=1$，因此原命题得证．
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