求证：$\sin\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdots\sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x^n-1=0$ 的一个虚根为 $\varepsilon$，则$$x^n-1=\left(x-1\right)\left(x-\varepsilon\right)\left(x-\varepsilon^2\right)\cdots\left(x-\varepsilon^{n-1}\right),$$于是$$1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\left(x-\varepsilon\right)\left(x-\varepsilon^2\right)\cdots\left(x-\varepsilon^{n-1}\right).$$令 $x=1$ 得$$\left(1-\varepsilon\right)\left(1-\varepsilon^2\right)\cdots\left(1-\varepsilon^{n-1}\right)=n,$$两边取模，利用倍角公式升次去根号即得．
答案
解析
备注
