$\left(-\infty, -\dfrac 1 2\right)\cup \left(-\dfrac 1 2, -\dfrac 7{16}\right)$

$y=x^2+x+a$ 与 $x=4y^2+3y+a$ 两式相减，得\[y-x = x^2 - 4y^2 +x-3y,\]整理得\[(x-2y)(x+2y+2)=0,\]故 $x-2y=0$ 或 $x+2y+2=0$．
由此知两条抛物线 $y=x^2+x+a$ 与 $x=4y^2+3y+a$ 有四个交点，当且仅当方程组 $\begin{cases}y=x^2+x+a,\\x-2y=0,\end{cases}$ 与 $\begin{cases}y=x^2+x+a,\\x+2y+2=0,\end{cases}$ 共有四组不同的实数解．这又等价于两个方程组各有两组不同的实数解且没有公共解．
对于前一个方程组，将 $x=2y$ 代入到 $y=x^2+x+a$ 中，整理得\[4y^2+y+a=0.\]因为 $4y^2+y+a=0$ 要有两个不等实根，所以其判别式大于 $0$，即 $1-16a>0$，解得 $a<\dfrac 1 {16}$．
对于后一个方程组，将 $x=-2y-2$ 代入到 $y=x^2+x+a$ 中，整理得\[4y^2 +5y+a+2=0.\]因为 $4y^2 +5y+a+2=0$ 要有两个不等实根，所以其判别式大于 $0$，即 $25-16(a+2)>0$，解得 $a<-\dfrac 7{16}$．因此这两个方程组各有两组不同的实数解当且仅当 $a<-\dfrac 7{16}$．这两个方程组有公共解当且仅当同时有\[y=x^2+x+a,x-2y=0,x+2y+2=0,\]解得 $x=-1,y=-\dfrac 1 2, a=-\dfrac 1 2$．
因此 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty, -\dfrac 1 2\right)\cup \left(-\dfrac 1 2, -\dfrac 7{16}\right)$．

$\left(-\dfrac 3 8, \dfrac 1 8\right)$

由 $y=x^2+x+a$ 得 $4y=4x^2+4x+4a$，与 $x=4y^2+3y+a$ 相加，得\[4y+x-4x^2+4y^2+4x+3y+5a=0,\]整理得\[\left(x+\dfrac 3 8\right)^2 + \left(y-\dfrac 1 8\right)^2 = -\dfrac {5a}{4}+\dfrac {5}{32}.\]上式表明这四个交点在圆心为 $\left(-\dfrac 3 8, \dfrac 1 8\right)$ 的圆上