2008年全国高中数学联赛（二试）

略

必要性：假设存在 $\{x_n\}$ 满足 $(1)$，$(2)$，$(3)$，注意到（iii）中式子可化为$$x_n-x_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k(x_{n+k}-x_{n+k-1})},n\in\mathbb N^*,$$其中 $x_0=0$．将上式从第 $1$ 项加到第 $n$ 项，并注意到 $x_0=0$，得$$x_n=a_1(x_{n+1}-x_1)+a_2(x_{n+2}-x_2)+\cdots+a_{2008}(x_{n+2008}-x_{2008}).$$由（ii）可设 $b=\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}$，将上式取极限得\[\begin{split}b&=a_1(b-x_1)+a_2(b-x_2)+\cdots+a_{2008}(b-x_{2008})\\&=b\cdot\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k}-(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{2008}x_{2008})\\&<b\cdot\sum\limits_{k=1}^{k=1}{a_k}.\end{split}\]因此 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k}>1$．
充分性：假设 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k}>1$，定义多项式函数如下：$$f(s)=-1+\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_ks^k},s\in[0,1],$$则 $f(s)$ 在 $[0,1]$ 上是递增函数，且 $f(0)=-1<0$，$\displaystyle f(1)=-1+\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k}>0$，因此方程 $f(s)=0$ 在 $[0,1]$ 内有唯一的根 $s=s_0$，且 $0<s_0<1$，即 $f(s_0)=0$．
下取数列 $\{x_n\}$ 为 $\displaystyle x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{s_0^k},n=1,2,\cdots$，则 $\{x_n\}$ 满足题设条件（i），且$$x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{s_0^k}=\dfrac{s_0-s_0^{n+1}}{1-s_0},$$因为 $0<s_0<1$，故 $\lim\limits_{n\to\infty}{s_0^{n+1}}=0$，因此$$\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{s_0-s_0^{n+1}}{1-s_0}}=\dfrac{s_0}{1-s_0},$$即 $\{x_n\}$ 的极限存在，满足（ii），最后验证 $\{x_n\}$ 满足 $(3)$，因为 $f(s_0)=0$，，即 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2008}{a_kS_0^k}=1$，从而$$x_n-x_{n-1}=s_0^n=\left(\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_ks_0^k}\right)s_0^n=\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k}(x_{n+k}-x_{n+k-1}).$$综上，存在数列 $\{x_n\}$ 满足 $(1)$ $(2)$ $(3)$．