$1,a_2,a_3,\cdots$ 是一个各项均为正整数的单调递增的等差数列，$1,b_2,b_3,\cdots$ 是一个各项均为正整数的单调递增的等比数列．令 $c_n=a_n+b_n$，已知存在整数 $k$ 满足 $c_{k-1}=100,c_{k+1}=1000$，求 $c_k$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$262$
【解析】
由题意，设 $a_n=1+(n-1)d$，其中 $d$ 是正整数；$b_n=q^{n-1}$，其中 $q$ 是大于等于 $2$ 的正整数．
情形一 $q\geqslant 10$，容易推出与题意不符．
情形二 $q \leqslant 9$，逐一验证可知，当且仅当数列 $\{ a_n \}$ 为 $1,91,181,271,\cdots$，数列 $\{ b_n \}$ 为 $1,9,81,729,\cdots$，$k=3$ 时满足题意．
答案
解析
备注
