已知 $a_i=\dfrac{1}{2^i}(i=1,2,\cdots ,215)$，$a_{216}=\dfrac{1}{2^{215}}$．正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{216}$ 满足$$\sum\limits_{i=1}^{216} x_i=1,\quad \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant 216} x_ix_j = \dfrac{107}{215}+ \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{a_ix_i^2}{2(1-a_i)}.$$设 $x_2$ 的最大值为 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$863$
【解析】
由题意，$$\begin{split} 1=&\left (\sum\limits_{i=1}^{216} x_i \right )^2\\=&\sum\limits_{i=1}^{216} x_i^2 +2 \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant 216} x_ix_j \\=&\sum\limits_{i=1}^{216} x_i^2+\dfrac{214}{215}+ \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{a_ix_i^2}{1-a_i}\\=&\dfrac{214}{215}+ \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{x_i^2}{1-a_i},\end{split} $$所以$$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{x_i^2}{1-a_i}=\dfrac{1}{215}.$$由柯西不等式，$$1=\sum\limits_{i=1}^{216}\left (1-a_i \right ) \cdot \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{x_i^2}{1-a_i}\geqslant \left (\sum\limits_{i=1}^{216} x_i \right )^2=1,$$故$$\dfrac{x_1}{1-a_1}=\dfrac{x_2}{1-a_2}=\cdots=\dfrac{x_{216}}{1-a_{216}}= \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{216} x_i}{\sum\limits_{i=1}^{216} \left (1-a_i \right )}=\dfrac{1}{215}, $$所以$$x_2=\dfrac{1-a_2}{215}=\dfrac{3}{860}.$$
答案
解析
备注
