若 $a,b,c$ 为非零复数，且 $\dfrac ab=\dfrac bc=\dfrac ca$，求 $\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$ 或 $0$
【解析】
令 $\dfrac ab=\dfrac bc=\dfrac ca=x$，则 $x^3=1$，于是 $x=1$ 或 $x=\omega$ 或 $x=\omega^2$，其中 $\omega=-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}$．而$$\dfrac{a+b+c}{a-b+c}=\dfrac{\dfrac ab+\dfrac cb+1}{\dfrac ab+\dfrac cb-1}=\dfrac{x+\dfrac 1x}{x+\dfrac 1x-1}=\dfrac {x^2+x+1}{x^2-x+1}.$$情形一 $x=1$．此时 $\dfrac{a+b+c}{a-b+c}=3$．
情形二 $x\neq 1$．此时 $x^2+x+1=\dfrac{x^3-1}{x-1}=0$，于是 $\dfrac{a+b+c}{a-b+c}=0$．
综上所述，$\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$ 的值为 $3$ 或 $0$．
综上所述，$\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$ 的值为 $3$ 或 $0$．
答案
解析
备注
