对于正整数 $N,k$，若存在正整数 $a$，使得 $a^k$ 恰好有 $N$ 个正因数，则称 $N$ 是一个" $k$ -好数"．求小于 $1000$ 的正整数中，既不是" $7$ -好数"又不是" $8$ -好数"的正整数的个数．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$749.$
【解析】
易知，$k$ -好数是模 $k$ 余 $1$ 的数．在小于 $1000$ 的正整数中，" $7$ -好数"有 $1,8,\cdots,995$，共 $143$ 个；" $8$ -好数"有 $1,9,\cdots,993$，共 $125$ 个；" $56$ -好数"有 $1,57,\cdots,953$，共 $18$ 个．
所以在小于 $1000$ 的正整数中，既不是" $7$ -好数"又不是" $8$ -好数"的正整数的个数为$$999-143-125+18=749.$$
所以在小于 $1000$ 的正整数中，既不是" $7$ -好数"又不是" $8$ -好数"的正整数的个数为$$999-143-125+18=749.$$
答案
解析
备注
