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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27498 59094e83060a05000970b38c 高中 解答题 高考真题 如图，设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1 \left(a > b > 0\right) $ 的左、右焦点分别为 ${F_1}$，${F_2}$，点 $ D $ 在椭圆上，$D{F_1}\perp{F_1}{F_2}$，$\dfrac{{\big|{F_1}{F_2}\big|}}{{\big|D{F_1}\big|}}= 2\sqrt 2 $，$\triangle D{F_1}{F_2}$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$． 2022-04-17 21:50:04
27497 59095042060a05000970b3a2 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^2+px+q$，求证：$|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac 12$． 2022-04-17 21:50:04
27496 59095067060a050008cff4f6 高中 解答题 高考真题 设 ${a_1}= 1$，${a_{n + 1}}= \sqrt{a_n^2 - 2{a_n}+ 2}+ b \left(n \in{{\mathbb {N}}^*}\right)$． 2022-04-17 21:49:04
27495 5909508d060a05000b3d1fc6 高中 解答题 高中习题 已知关于 $x$ 的方程 $x^3-ax^2-2ax+a^2-1=0$ 有且只有一个实数根，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:48:04
27494 590950aa060a05000b3d1fca 高中 解答题 高中习题 给出计算双曲线 $y=mx+\dfrac nx$（$m,n>0$）的半实轴长 $a$，半虚轴长 $b$ 以及离心率 $e$ 的算法． 2022-04-17 21:48:04
27493 5909553d060a050008cff533 高中 解答题 高中习题 设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）外一点 $P(x_0,y_0)$，求证：方程$$\left(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1\right)\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1\right)=\left(\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}-1\right)^2$$表示过点 $P$ 的椭圆的两条切线． 2022-04-17 21:47:04
27492 5909557d060a050008cff537 高中 解答题 高中习题 求证：$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{{\mathrm \pi}^2}6$． 2022-04-17 21:46:04
27491 59095678060a05000b3d2010 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是一个三角形的三边长，求证：$$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c-a}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{c+a-b}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}-1\right)\geqslant 8.$$ 2022-04-17 21:46:04
27490 59096c7139f91d0009d4bf7c 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c>0$，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$． 2022-04-17 21:45:04
27489 59096c9b39f91d000a7e44a7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且满足 $a+b+c=1$，求证：$a^3+b^3+c^3\geqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}3$． 2022-04-17 21:44:04
27488 59096cc239f91d0009d4bf80 高中 解答题 高中习题 若 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=abc$，求证：$$\dfrac{b+c}a+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}c\geqslant 2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^2.$$ 2022-04-17 21:44:04
27487 59096cf739f91d000a7e44af 高中 解答题 高中习题 平面直角坐标系 $xOy$ 中有两定点 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，分别过点 $P$ 和点 $Q$ 作直线 $l_1,l_2$，且 $l_1\perp l_2$，若直线 $l_1$ 交 $x$ 轴于点 $A$，直线 $l_2$ 交 $y$ 轴于点 $B$，求线段 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹． 2022-04-17 21:43:04
27486 59096d7b39f91d0009d4bf86 高中 解答题 高考真题 已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > 0,b > 0\right)$ 的两条渐近线分别为 ${l_1}:y = 2x$，${l_2}:y = - 2x$． 2022-04-17 21:42:04
27485 59096f6d39f91d000a7e44c3 高中 解答题 高考真题 已知曲线 $\varGamma$ 上的点到点 $F\left(0,1\right)$ 的距离比它到直线 $y = - 3$ 的距离小 $2$． 2022-04-17 21:42:04
27484 5909706e39f91d0007cc92f6 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z>0$，且 $xy+yz+zx=1$，求证：$$xyz(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right).$$ 2022-04-17 21:41:04
27483 590973ba39f91d0007cc9313 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$，求证：$\dfrac{4(1+a)(1+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leqslant 3\sqrt 3$． 2022-04-17 21:41:04
27482 5948912fa26d280008874b05 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=a^3+b^3+c^3=0$，$n$ 为任意自然数，求 $a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}$ 的值． 2022-04-17 21:40:04
27481 59489280a26d28000a4db4e8 高中 解答题 自招竞赛 证明：若 $n$ 为不小于 $2$ 的自然数，$t$ 为实数且 $\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\] 2022-04-17 21:39:04
27480 5948933aa26d280008874b0d 高中 解答题 高中习题 一个等腰梯形的腰和底的长分别为 $\sqrt 2$ 和 $3$，求这个梯形面积的最大值． 2022-04-17 21:39:04
27479 590837e0060a05000a4a9847 高中 解答题 高中习题 已知函数 $y=\dfrac{\ln x}x-k$ 有两个零点 $x_1,x_2$．求证：$x_1+x_2>2{\mathrm e}$．进一步，求证：$x_1+x_2>\dfrac{2}{k}$． 2022-04-17 21:38:04
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