设集合 $A$ 是整数集 $\mathbb Z$ 的子集，其中有正有负，且 $a,b\in A$（$a,b$ 可以相等），则 $a+b\in A$．求证：若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $m$ 是集合 $A$ 中最小的正整数，$n$ 是集合 $A$ 中最大的负整数，那么 $m+n=0$，否则 $n<m+n<m$，矛盾．这样就可得到了所有形如 $km$（$k\in\mathbb Z$）的数均在集合 $A$ 中．
接下来证明不存在任何整数 $x\in A$，且 $km<x<(k+1)m$，否则 $0<x+k(-m)<m$，与 $m$ 是集合 $A$ 中的最小正整数矛盾．
综上所述，若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$．
接下来证明不存在任何整数 $x\in A$，且 $km<x<(k+1)m$，否则 $0<x+k(-m)<m$，与 $m$ 是集合 $A$ 中的最小正整数矛盾．
综上所述，若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$．
答案
解析
备注
