直角三角形 $ABC_0$（$C_0$ 为直角）的三边长是两两互质的正整数，周长为 $p$．作 $C_0C_1 \perp AB$ 于 $C_1$，当 $n \geqslant 2$ 时，作 $C_{n-1}C_{n} \perp BC_{n-2}$ 于 $C_n$．已知 $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty}C_{n-1}C_n=6p$，求 $p$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$182$
【解析】
设 $C_0C_1$ 的长为 $h$．因为$$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty}C_{n-1}C_n=6p,$$所以$$\dfrac{h}{1-\sin A} =6h\left (\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\cos A}+\tan A+\cot A \right ),$$整理得$$7\sin A-6\cos A=6,$$解得 $\cos A=\dfrac{13}{85} $（$\cos A=-1$ 舍去）．
所以 $p=13+84+85=182$．
所以 $p=13+84+85=182$．
答案
解析
备注
