正方形 $ABCD$ 的面积为 $2016$，正方形 $IJKL$ 的 $4$ 个顶点分别落在正方形 $ABCD$ 的 $4$ 条边上，其面积为正整数．正方形 $EFGH$ 的 $4$ 个顶点分别落在正方形 $IJKL$ 的 $4$ 条边上，其中心与正方形 $ABCD$ 的中心重合，$EF \parallel AB$，且其面积是一个小于 $2016$ 的正整数．求正方形 $IJKL$ 面积的最大值与最小值的差．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$840$
【解析】
由题意，设正方形 $ABCD$ 的面积为 $S_1=2016$，正方形 $IJKL$ 的面积为 $S_2=2016q$，正方形 $EFGH$ 的面积为 $S_3=2016q^2$，其中 $\dfrac{1}{2}\leqslant q <1 $．显然，正方形 $IJKL$ 面积的最小值为 $1008$．因为$$S_1S_3=12^2\cdot 14S_3=S_2^2$$为完全平方数，故 $S_3=14m^2$，其中 $m$ 为正整数．所以$$S_2=12\cdot 14m,$$由此可得$$q=\dfrac{m}{12} \leqslant \dfrac{11}{12}.$$经检验，当 $q=\dfrac{11}{12} $ 时满足题意，所以正方形 $IJKL$ 面积的最大值为 $1848$．
答案
解析
备注
