如图，$O$ 为坐标原点，双曲线 ${C_1}:\dfrac{x^2}{a_1^2}- \dfrac{y^2}{b_1^2}= 1\left({a_1}> 0,{b_1}> 0\right)$ 和椭圆 ${C_2}:\dfrac{y^2}{a_2^2}+ \dfrac{x^2}{b_2^2}= 1\left({a_2}>{b_2}> 0\right)$ 均过点 $P\left(\dfrac{2\sqrt 3}{3},1\right)$，且以 ${C_1}$ 的两个顶点和 ${C_2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 $2$ 的正方形．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（文）
【标注】
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求 ${C_1},{C_2}$ 的方程；标注答案双曲线 $C_1$ 的方程为 $C_1:x^2-\dfrac{y^2}3=1$，椭圆 $C_2$ 的方程为 $C_2:\dfrac{y^2}3+\dfrac{x^2}2=1$解析根据题意有 $a_1=1$，$a_2^2-b_2^2=1$，且$$\dfrac{1}{a_1^2}\cdot\left(\dfrac{2\sqrt 3}3\right)^2-\dfrac{1}{b_1^2}=1,\dfrac{1}{a_2^2}+\dfrac{1}{b_2^2}\cdot\left(\dfrac{2\sqrt 3}3\right)^2=1,$$解得 $a_1=1$，$b_1=\sqrt 3$，$a_2=\sqrt 3$，$b_2=\sqrt 2$．
因此双曲线 $C_1$ 的方程为 $C_1:x^2-\dfrac{y^2}3=1$，椭圆 $C_2$ 的方程为 $C_2:\dfrac{y^2}3+\dfrac{x^2}2=1$． -
是否存在直线 $l$，使得 $l$ 与 ${C_1}$ 交于 $A,B$ 两点，与 ${C_2}$ 只有一个公共点，且 $\left|\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|$？证明你的结论．标注答案不存在符合题意的直线 $l$解析$\left|\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|$ 即 $\left|\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|$，也即 $OA\perp OB$．
设 $A\left(r_1\cos\theta_1,r_1\sin\theta_1\right)$，$B\left(r_2\cos\theta_2,r_2\sin\theta_2\right)$，$\theta_2=\theta_1\pm \dfrac{\pi}2$，则$$r_1^2\cos^2\theta_1-\dfrac{r_1^2\sin^2\theta_1}{3}=1,r_2^2\cos^2\theta_2-\dfrac{r_2^2\sin^2\theta_2}{3}=1,$$即$$\dfrac{1}{r_1^2}=\cos^2\theta_1-\dfrac 13\sin^2\theta_1,\dfrac{1}{r_2^2}=\sin^2\theta_1-\dfrac 13\cos^2\theta_1,$$进而原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 满足$$\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac 23.$$因此直线 $AB$ 必为圆 $x^2+y^2=\dfrac 32$ 的切线，而该圆在椭圆 $\dfrac{y^2}3+\dfrac{x^2}{2}=1$ 的内部，因此直线 $AB$ 必与椭圆相交，于是不存在符合题意的直线 $l$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
