已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac 54(a+b+c)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a$ 为最大数，则\[\begin{split}\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}=&a+\dfrac{ab(a-b)}{a^2-ab+b^2}\\<&a+\dfrac{ab(a-b)(a+b)}{a^3+b^3}\\\leqslant&a+\dfrac{a(a+b)}{a^3+b^3}\cdot\left(\dfrac{b+a-b}{2}\right)^2\\=&a+\dfrac{a+b}{4}\cdot\dfrac{a^3}{a^3+b^3}<\dfrac{5a+b}4,\end{split}\]而$$\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac{b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}=b+c,$$于是$$\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac{5a+b}4+b+c<\dfrac 54(a+b+c).$$
答案
解析
备注
