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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26478 5968885922d140000818167a 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，以点 $C\left(t,\dfrac2t\right)$ 为圆心的圆经过坐标原点 $O$，且分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于点 $A,B$（不同于原点 $O$）． 2022-04-17 20:21:55
26477 5968885922d140000818167b 高中 解答题 自招竞赛 如图，锐角 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，过圆心 $O$ 且垂直于半径 $OA$ 的直线分别交边 $AB,AC$ 于点 $E,F$．设圆 $O$ 在 $B,C$ 两点处的切线相交于点 $P$，求证：直线 $AP$ 平分线段 $EF$． 2022-04-17 20:20:55
26476 5968885922d140000818167d 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的正整数 $n$，证明：$$\dfrac{1}{3-2}+\dfrac{1}{3^2+2^2}+\dfrac{1}{3^3-2^3}+\cdots+\dfrac{1}{3^n+(-2)^n}<\dfrac76.$$ 2022-04-17 20:20:55
26475 597e8d97d05b90000addb2b7 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 和圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$．当 $r$ 在 $[a,b]$ 上变化时椭圆与圆存在公切线 $l$，设 $l$ 与椭圆和圆的交点分别为 $A,B$，求线段 $AB$ 长度的最大值． 2022-04-17 20:19:55
26474 597e8e4bd05b90000b5e30a9 高中 解答题 高中习题 求 $\cos\dfrac\pi 5\cos\dfrac{2\pi}5$ 与 $\sin\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{2\pi}{5}$ 的值． 2022-04-17 20:19:55
26473 597e8e4bd05b9000091650fa 高中 解答题 高中习题 证明：$x{\rm e}^x-\ln x>1.5$． 2022-04-17 20:18:55
26472 597e90e2d05b90000addb2e0 高中 解答题 高中习题 若 $\triangle ABC$ 中，${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C < 2$，则 $\triangle ABC$ 为钝角三角形． 2022-04-17 20:17:55
26471 5968899022d140000ac07f52 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$（$a\neq 0,a\neq 1$），前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=\dfrac {a}{1-a}(1-a_n)$．记 $b_n=a_n \lg|a_n|$（$n \in \mathbb N^*$），当 $a=-\dfrac {\sqrt 7}{3}$ 时，问是否存在正整数 $m$，使得对于任意正整数 $n$，都有 $b_n \geqslant b_m$？如果存在，求出 $m$ 的值；如果不存在，说明理由． 2022-04-17 20:16:55
26470 5968899022d140000ac07f53 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$，$\angle DCO$ 的平分线 $CQ$ 交线段 $OD$ 于 $Q$，连接 $AQ$，作 $OM \perp BC$ 于 $M$，$ON \perp AQ$ 于 $N$，且 $P$ 为 $AB$ 边的中点，$OA=\dfrac {OB \cdot OD}{OC+CD}$．求证：$ PM=PN$． 2022-04-17 20:16:55
26469 597e93cad05b90000c8057b6 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x\ln x$，方程 $f(x)=m$ 有两个不同的实数解 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2<1$． 2022-04-17 20:15:55
26468 597e9467d05b90000b5e30d0 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x\ln x$，方程 $f(x)=m$ 有两个不同的实数解 $x_1,x_2$，求证：当 $a\leqslant \ln 2$ 时，$x_1^a+x_2^a>1$． 2022-04-17 20:15:55
26467 597e9497d05b900009165142 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$ 有两个零点 $x_1,x_2$，证明：$x_1+x_2<2$． 2022-04-17 20:15:55
26466 597e953ad05b90000b5e30e4 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln x-(ax+b)$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求证：$\dfrac{{\rm e}^{1+b}}{a}<x_1x_2<\dfrac{1}{a^2}$． 2022-04-17 20:14:55
26465 59099efd38b6b40008d7bbf8 初中 解答题 真题 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=-\dfrac 13x^2+2x-\dfrac 53$ 经过 $x$ 轴上点 $A,B$（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，以点 $A$ 为圆心，作与直线 $BC$ 相切的 $\odot A$ 与 $y$ 轴有怎样的位置关系，并且说明理由． 2022-04-17 20:14:55
26464 597e9558d05b90000addb31c 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x\ln x$ 与直线 $y=m$ 交于 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$ 两点，求证：$m^2<x_1x_2<-\dfrac{m}{\rm e}$． 2022-04-17 20:13:55
26463 597e9600d05b90000addb329 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln x-x$，$f(x)=m$ 有两个根 $x_1,x_2$，证明：$x_1x_2<1$，$x_1+x_2>2$． 2022-04-17 20:12:55
26462 597e961bd05b90000b5e30f0 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x\ln x$，方程 $f(x)=m$ 有两个不同的实数解 $x_1,x_2$，求证：$x_1x_2>m^2$． 2022-04-17 20:11:55
26461 596b202222d1400008181695 高中 解答题 自招竞赛 $M$ 是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线上任意点，过 $M$ 点作抛物线的切线 $l_1,l_2$，切点分别为 $A,B$（$A$ 在 $x$ 轴上方）． 2022-04-17 20:11:55
26460 592545fa82e8bd000aa6acbf 初中 解答题 其他 如图，一次函数 $y=-x+4$ 的图象与 $x,y$ 轴分别相交于点 $A,B$，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$，点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，点 $Q$ 为直线 $AB$ 与 $\triangle OAP$ 外接圆的交点，点 $P,Q$ 与点 $A$ 都不重合． 2022-04-17 20:10:55
26459 59099f8838b6b400072dd27b 初中 解答题 真题 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 在 $x$ 轴上，$D$ 点在 $y$ 轴上，$C$ 点坐标为 $(2,0)$，$BC=6$，$\angle BCD=60^\circ$，点 $E$ 是 $AB$ 上一点，$AE=3EB$，$\odot P$ 过 $D,O,C$ 三点，抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $D,B,C$ 三点． 2022-04-17 20:10:55
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