已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$（$a\neq 0,a\neq 1$），前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=\dfrac {a}{1-a}(1-a_n)$．记 $b_n=a_n \lg|a_n|$（$n \in \mathbb N^*$），当 $a=-\dfrac {\sqrt 7}{3}$ 时，问是否存在正整数 $m$，使得对于任意正整数 $n$，都有 $b_n \geqslant b_m$？如果存在，求出 $m$ 的值；如果不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
存在，$m=8$
【解析】
当 $n \geqslant 2$ 时，\[\begin{split} S_n&=\dfrac {a}{1-a}(1-a_n) ,\\ S_{n-1}&=\dfrac {a}{1-a}(1-a_{n-1}),\end{split}\]所以\[\begin{split} a_n&=S_n-S_{n-1}\\&=\dfrac {a}{1-a}[(1-a_n)-(1-a_{n-1})]\\&=\dfrac {a}{1-a}(a_{n-1}-a_n).\end{split}\]从而$$a_n=aa_{n-1}.$$又 $a_1=a\neq 0$，所以 $\{a_n\}$ 是首项和公比都为 $a$ 的等比数列，可知 $a_n=a^n$，于是$$b_n=a_n\lg|a_n|=na^n\lg |a|.$$又 $a=-\dfrac {\sqrt 7}{3} \in (-1,0)$，则 $\lg |a|<0$，所以当 $n$ 为偶数时，$$b_n=na^n\lg|a|<0.$$当 $n$ 为奇数时，$$b_n >0.$$可见，若存在满足条件的正整数 $m$，则 $m$ 为偶数．
下面求 $b_n$ 的最小值 $b_m$．\[\begin{split} b_{2k+2}-b_{2k}&= [(2k+2)a^{2k+2}-2ka^{2k}]\lg |a|\\&=2a^{2k}[(k+1)a^2-k]\lg |a| \\&=2a^{2k}\left[k(a^2-1)+a^2\cdot \dfrac {a^2-1}{a^2-1}\right]\lg |a| \\&=2a^{2k}(a^2-1)\left(k-\dfrac {a^2}{1-a^2}\right)\lg |a| .(k \in \mathbb N^*)\end{split}\]当 $a=-\dfrac {\sqrt 7}{3}$ 时，$a^2-1=-\dfrac 29$，所以$$2a^{2k}(a^2-1)\lg |a|>0,\dfrac {a^2}{1-a^2}=\dfrac 72.$$当 $k>\dfrac 72$ 时，$b_{2k+2}>b_{2k}$，即$$b_8 <b_{10}<b_{12}<\cdots .$$当 $k<\dfrac 72$ 时，$b_{2k+2}<b_{2k}$，即$$b_8 <b_{6}<b_{4}<b_2 .$$故存在正整数 $m=8$ 使得对于任意正整数 $n$，都有 $b_n \geqslant b_m$．
下面求 $b_n$ 的最小值 $b_m$．\[\begin{split} b_{2k+2}-b_{2k}&= [(2k+2)a^{2k+2}-2ka^{2k}]\lg |a|\\&=2a^{2k}[(k+1)a^2-k]\lg |a| \\&=2a^{2k}\left[k(a^2-1)+a^2\cdot \dfrac {a^2-1}{a^2-1}\right]\lg |a| \\&=2a^{2k}(a^2-1)\left(k-\dfrac {a^2}{1-a^2}\right)\lg |a| .(k \in \mathbb N^*)\end{split}\]当 $a=-\dfrac {\sqrt 7}{3}$ 时，$a^2-1=-\dfrac 29$，所以$$2a^{2k}(a^2-1)\lg |a|>0,\dfrac {a^2}{1-a^2}=\dfrac 72.$$当 $k>\dfrac 72$ 时，$b_{2k+2}>b_{2k}$，即$$b_8 <b_{10}<b_{12}<\cdots .$$当 $k<\dfrac 72$ 时，$b_{2k+2}<b_{2k}$，即$$b_8 <b_{6}<b_{4}<b_2 .$$故存在正整数 $m=8$ 使得对于任意正整数 $n$，都有 $b_n \geqslant b_m$．
答案
解析
备注
