已知函数 $f(x)=x\ln x$ 与直线 $y=m$ 交于 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$ 两点，求证：$m^2<x_1x_2<-\dfrac{m}{\rm e}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
左侧等价于证明 $\ln x_1\cdot \ln x_2>1$，右侧等价于证明 $x_1<-\dfrac{\ln x_1}{\rm e}$．
令$$\varphi(x)=x{\rm e}^x-\dfrac 1x{\rm e}^{\frac 1x},x\in (-1,0),$$则 $\varphi''(x)>0$，进而结合 $\varphi'(-1)=\varphi(-1)=0$ 可得在区间 $(-1,0)$ 上，有 $\varphi(x)<0$，因此左侧不等式得证．
令$$\mu(x)=f(x)-f\left(-\dfrac{\ln x}{\rm e}\right),x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right),$$则$$\mu'(x)=\ln x+\dfrac{\ln(-\ln x)}{{\rm e}x}+1.$$接下来我们证明$$1-t+\dfrac{\ln t}{{\rm e}^{1-t}}>0,$$其中 $t=-\ln x>1$．事实上，我们熟知当 $t>1$ 时，有$${\rm e}^{1-t}<\dfrac{1}{t},\ln t>\dfrac{2(t-1)}{t+1},$$于是$$1-t+\dfrac{\ln t}{{\rm e}^{1-t}}>1-t+\dfrac{2t(t-1)}{t+1}=\dfrac{(t-1)^2}{t+1}>0.$$这样就有 $\mu(x)$ 单调递增，进而$$\mu(x)<\mu\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=0,$$因此右侧不等式得证．
令$$\varphi(x)=x{\rm e}^x-\dfrac 1x{\rm e}^{\frac 1x},x\in (-1,0),$$则 $\varphi''(x)>0$，进而结合 $\varphi'(-1)=\varphi(-1)=0$ 可得在区间 $(-1,0)$ 上，有 $\varphi(x)<0$，因此左侧不等式得证．
令$$\mu(x)=f(x)-f\left(-\dfrac{\ln x}{\rm e}\right),x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right),$$则$$\mu'(x)=\ln x+\dfrac{\ln(-\ln x)}{{\rm e}x}+1.$$接下来我们证明$$1-t+\dfrac{\ln t}{{\rm e}^{1-t}}>0,$$其中 $t=-\ln x>1$．事实上，我们熟知当 $t>1$ 时，有$${\rm e}^{1-t}<\dfrac{1}{t},\ln t>\dfrac{2(t-1)}{t+1},$$于是$$1-t+\dfrac{\ln t}{{\rm e}^{1-t}}>1-t+\dfrac{2t(t-1)}{t+1}=\dfrac{(t-1)^2}{t+1}>0.$$这样就有 $\mu(x)$ 单调递增，进而$$\mu(x)<\mu\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=0,$$因此右侧不等式得证．
答案
解析
备注
