在平面直角坐标系中，以点 $C\left(t,\dfrac2t\right)$ 为圆心的圆经过坐标原点 $O$，且分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于点 $A,B$（不同于原点 $O$）．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求证：$\triangle AOB$ 的面积 $S$ 为定值；标注答案略解析因为圆 $C$ 过原点 $O$，且$$|OC|^2=t^2+\dfrac{4}{t^2},$$所以圆 $C$ 的方程为$$(x-t)^2+\left(y-\dfrac2t\right)^2=t^2+\dfrac{4}{t^2},$$即$$x^2+y^2-2tx-\dfrac4ty=0,$$所以 $A(2t,0),B\left(0,\dfrac4t\right)$．
因此 $\triangle ABC$ 的面积$$S=\dfrac12\cdot|OA|\cdot|OB|=\dfrac12\cdot|2t|\cdot\left|\dfrac4t\right|=4,$$为定值． -
设直线 $l:y=-2x+4$ 与圆 $C$ 相交于不同的两点 $M,N$，且 $|OM|=|ON|$，求圆 $C$ 的标准方程．标注答案$(x-2)^2+(y-1)^2=5$解析因为$$|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,$$所以直线 $OC$ 垂直平分线段 $MN$，所以$$k_{OC}=-\dfrac{1}{k_{MN}}=\dfrac12,$$因此直线 $OC$ 方程为 $y=\dfrac12x$，所以$$\dfrac2t=\dfrac{t}{2},$$解得 $t=\pm 2$．
情形一 当 $t=2$ 时，圆心 $C(2,1)$，半径 $|OC|=\sqrt5$，此时圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离$$d=\dfrac{1}{\sqrt5}<\sqrt5,$$符合题意．情形二 当 $t=-2$ 时，圆心 $C(-2,-1)$，半径 $|OC|=\sqrt5$，此时圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离$$d=\dfrac{9}{\sqrt5}>\sqrt5,$$不符合题意．
综上所述，圆 $C$ 的方程为 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
