已知函数 $f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$ 有两个零点 $x_1,x_2$，证明：$x_1+x_2<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$，且函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．不妨设 $x_1<1<x_2$，则只需证明 $x_2<2-x_1$．考虑到函数 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，于是只需要证明$$g(x_2)>g(2-x_1),$$也即$$g(x_1)>g(2-x_1).$$接下来证明：$$\forall x<1,g(x)-g(2-x)>0,$$也即$$\forall x<1,{\rm e}^x\cdot (2-x)-{\rm e}^{2-x}\cdot x>0.$$设 $h(x)={\rm e}^x\cdot (2-x)-{\rm e}^{2-x}\cdot x$，则其导函数$$h'(x)=({\rm e}^x-{\rm e}^{2-x})(1-x),$$当 $x<1$ 时，有$${\rm e}^x-{\rm e}^{2-x}<0,$$于是在 $(-\infty,1)$ 上，$h(x)$ 单调递减．而 $h(1)=0$，于是在 $(-\infty,1)$ 上，有 $h(x)>0$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
