已知函数 $f(x)=x\ln x$，方程 $f(x)=m$ 有两个不同的实数解 $x_1,x_2$，求证：$x_1x_2>m^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x_1<x_2$．根据已知，有$$-\dfrac{1}{\rm e}<m<0,0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}<x_2<1.$$由$$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=m,$$可得$$\ln\dfrac{1}{x_1}-\ln\dfrac{1}{x_2}=-m\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right),$$进而可得$$\dfrac{\dfrac 1{x_1}-\dfrac 1{x_2}}{\ln\dfrac 1{x_1}-\ln\dfrac 1{x_2}}=-\dfrac 1m>\sqrt{\dfrac{1}{x_1}\cdot \dfrac{1}{x_2}},$$即 $x_1x_2>m^2$．
答案
解析
备注
