若 $\triangle ABC$ 中，${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C < 2$，则 $\triangle ABC$ 为钝角三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据已知有\[\begin{split}{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C < 2& \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 2A}}{2} + \dfrac{{1 - \cos 2B}}{2} + \dfrac{{1 - \cos 2C}}{2} < 2\\&\Leftrightarrow \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C > - 1,\end{split}\]我们熟知$$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = - 1 - 4\cos A\cos B\cos C,$$于是 $\cos A\cos B\cos C < 0$，这就证明了 $\triangle ABC$ 必然为钝角三角形．
答案
解析
备注
