已知函数 $f(x)=\ln x-(ax+b)$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求证：$\dfrac{{\rm e}^{1+b}}{a}<x_1x_2<\dfrac{1}{a^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
易知 $0<a<\dfrac{1}{\rm e}$，且 $0<x_2<\dfrac 1a<x_1$，欲证不等式等价于$$\begin{cases} x_1<\dfrac{1}{a^2x_2},\\ ax_1>1-\ln a-\ln x_2,\end{cases} $$于是设$$\varphi(x)=f(x)-f\left(\dfrac{1}{a^2x}\right),\mu (x)=f(x)-f\left(\dfrac{1-\ln a-\ln x}a\right),$$其中 $x\in\left(0,\dfrac 1a\right)$．进而$$\varphi'(x)=-\dfrac{(ax-1)^2}{ax^2}<0,$$而$$\mu'(x)=-\dfrac{ax\ln (ax)-ax+1}{x\left(\ln (ax)-1\right)}>0,$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
