2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）

略

记 $a_k=\dfrac{1}{3^k+(-2)^k}$，$\displaystyle S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{a_k}$．
先证明：对任意 $m\in\mathbb N^*$，有$$a_{2m}+a_{2m+1}<\dfrac{4}{3^{2m+1}}.$$事实上，\[\begin{split}a_{2m}+a_{2m+1}&=\dfrac{1}{3^{2m}+2^{2m}}+\dfrac{1}{3^{2m+1}-2^{2m+1}}\\&=\dfrac{3^{2m+1}-2^{2m+1}+3^{2m}+2^{2m}}{(3^{2m}+2^{2m})(3^{2m+1}-2^{2m+1})}\\&=\dfrac{4\cdot3^{2m}-2^{2m}}{3^{4m+1}+6^{2m}-2^{4m+1}}\\&<\dfrac{4\cdot3^{2m}}{3^{4m+1}+6^{2m}\left[1-2\left(\frac23\right)^{2m}\right]}.\end{split}\]因为 $1-2\left(\dfrac23\right)^{2m}$ 单调递增，所以$$1-2\left(\dfrac23\right)^{2m}\geqslant1-2\left(\dfrac23\right)^2>0,$$故$$a_{2m}+a_{2m+1}<\dfrac{4\cdot3^{2m}}{3^{4m+1}}=\dfrac{4}{3^{2m+1}}.$$再证明：对任意 $n\in\mathbb N^*$，有 $S_n<\dfrac76$．
当 $n=1$ 时，$S_1=1<\dfrac76$，不等式成立．
当 $n\geqslant2$ 时，
情形一 若 $n$ 为奇数，令 $n=2m+1(m\in\mathbb N^*)$，则$$\begin{split}S_n&=S_{2n+1}=1+\sum\limits_{k=1}^{m}{(a_{2k}+a_{2k+1})}\\&<1+\sum\limits_{k=1}^{m}{\dfrac{4}{3^{2k+1}}}=\dfrac76-\dfrac16\left(\dfrac19\right)^m\\&<\dfrac76.\end{split}$$情形二 若 $n$ 为偶数，令 $n=2m(m\in\mathbb N^*)$，则$$S_{n}=S_{2m}<S_{2m+1}<\dfrac76.$$综上所述，对任意 $n\in\mathbb N^*$，都有 $S_n<\dfrac76$．