$M$ 是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线上任意点，过 $M$ 点作抛物线的切线 $l_1,l_2$，切点分别为 $A,B$（$A$ 在 $x$ 轴上方）．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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证明：直线 $AB$ 过定点；标注答案略解析设 $A,B$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$．
由 $y=\sqrt{2px}$，知 $l_1$ 的斜率为$$k_1=\dfrac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x_1}},$$由 $y=-\sqrt{2px}$ 知 $l_2$ 的斜率为$$k_2=-\dfrac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x_1}},$$则\[\begin{split}&l_1:y-y_1=\dfrac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x_1}}(x-x_1),\\&l_2:y-y_2=-\dfrac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x_2}}(x-x_2),\end{split}\]两式相减，得$$y_1-y_2=-\dfrac{\sqrt{2p}}{2}\dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1x_2}}\cdot x+\dfrac{\sqrt{2p}}{2}(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}).$$又因为$$y_1-y_2=\sqrt{2p}(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}),$$所以$$1=-\dfrac{1}{2\sqrt{x_1x_2}}x+\dfrac12,$$即 $\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{p}{2}$．
设过 $A,B$ 的直线为 $y=kx+m$，代入 $y^2=2px$，得$$k^2x^2+(2km-2p)x+m^2=0,$$则 $x_1x_2=\dfrac{m^2}{k^2}$，从而得到$$\dfrac{m}{k}=-\dfrac{p}{2},$$于是直线 $AB$ 过焦点． -
设 $AB$ 的中点为 $P$，求 $|MP|$ 的最小值．标注答案$p$解析因为$$k_1k_2=-\dfrac{2p}{4\sqrt{x_1x_2}}=-1,$$所以 $l_1\perp l_2$，故 $MP=\dfrac12AB$，因此$$\min\{MP\}=\min\left\{\dfrac12AB\right\}=p.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
