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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26718 5912b9c4e020e700094b0d59 高中 解答题 自招竞赛 $a,b, c \in {\mathbb{R}}$，$abc \ne 0$，$b \ne c$，$a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0$ 有两个相等根，求证：$\dfrac{1}{a} ,\dfrac{1}{b} , \dfrac{1}{c}$ 成等差数列． 2022-04-17 20:33:57
26717 5912ba05e020e700094b0d5e 高中 解答题 自招竞赛 $P,Q$ 分别是圆 ${x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1$ 与抛物线 $y = {x^2}$ 上的点，求 $\left| {PQ} \right|$ 的最小值． 2022-04-17 20:32:57
26716 59608d273cafba0009670b5d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $|z| = 1$，$k$ 是实数，$z$ 是复数，求 $\left| {{z^2} + kz + 1} \right|$ 的最大值． 2022-04-17 20:32:57
26715 59685e4222d14000072f84e9 高中 解答题 自招竞赛 对任一正整数 $k$，$1\leqslant k\leqslant 9$，是否存在相应的二次函数 $f_k\left(\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{p\text{个}}}\right)=\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{2p\text{个}}}$（例如，$k=3$，$p=2$，$\overline{kk}=33$，$f_3(33)=3333$）．若存在，请给出证明及相应二次函数 $f_k(x)$ 的表达式；若不存在，请给出理由． 2022-04-17 20:30:57
26714 5912ba8fe020e7000878fa09 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$，设二次函数 $f\left( x \right) = - {a^2}{x^2} + ax + c$，其中 $a ,c$ 均为实数．证明：对于任意 $x \in \left[ {0 ,1} \right]$，均有 $f\left( x \right) \leqslant 1$ 成立的充要条件是 $c \leqslant \dfrac{3}{4}$． 2022-04-17 20:30:57
26713 5912bad5e020e70007fbee7f 高中 解答题 自招竞赛 设 $k \geqslant 9$，解方程 ${x^3} + 2k{x^2} + {k^2}x + 9k + 27 = 0$． 2022-04-17 20:30:57
26712 59685e4222d14000072f84ea 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $T:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）和双曲线 $S:\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1$（$m>0,n>0$）具有相同的焦点 $F(2,0)$．设双曲线 $S$ 在第一象限的渐近线为 $l$，若焦点 $F$ 和椭圆 $T$ 的上方的顶点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点都在双曲线 $S$ 上，求椭圆 $T$ 和双曲线 $S$ 的方程． 2022-04-17 20:30:57
26711 5912bb6ae020e700094b0d6a 高中 解答题 自招竞赛 现有由数字 $1,2 , 3, 4 , 5$ 排列而成的一个五位数组（没有重复数字）．规定：前 $i$ 个数不允许是 $1, 2, \cdots , i$ 的一个排列 $\left( {1 \leqslant i \leqslant 4} \right)$（如 $32154$ 就不可以，因为前三个数是 $1 , 2 ,3$ 的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个？ 2022-04-17 20:29:57
26710 5912bbfae020e70007fbee93 高中 解答题 自招竞赛 双曲线 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的离心率为 $\sqrt 2 $，$A\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$ 两点在双曲线上，且 ${x_1} \ne {x_2}$． 2022-04-17 20:29:57
26709 5954bd4cd3b4f9000ad5e83b 初中 解答题 其他 如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC=120^\circ$，$AB=AC=2$，点 $D$ 是 $BC$ 边上的一个动点（不与 $B,C$ 重合），在 $AC$ 上取一点 $E$，使 $\angle ADE=30^\circ$， 2022-04-17 20:28:57
26708 5912bd34e020e700094b0d82 高中 解答题 自招竞赛 某厂生产的一批电子元件，按每盒 $10$ 件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂，质检办法规定：从每盒 $10$ 件电子元件中任意抽取 $3$ 件进行检验，若次品数不超过 $1$ 件，就认为该盒产品合格；否则就认为该盒产品不合格．已知某盒电子元件中有 $2$ 件次品． 2022-04-17 20:28:57
26707 597562f1d3e6ac00087911eb 初中 解答题 其他 如图，等边 $\triangle ABC$ 中，点 $D,E$ 在 $AB,BC$ 上，$AD=2BE=6$，将 $DE$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60^\circ$，得到 $EF$，取 $EF$ 的中点 $G$，连接 $AG$，延长 $CF$ 交 $AG$ 于点 $H$，若 $2AH=5HG$，求 $BD$ 的长． 2022-04-17 20:27:57
26706 595dd5176e0c650007a04346 初中 解答题 其他 如图，边长为 $2\sqrt 2$ 的正方形 $ABCD$ 中，$P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点（点 $P$ 与 $A,C$ 不重合），连接 $BP$，将 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 到 $BQ$．连接 $QP$，$QP$ 与 $BC$ 交于点 $E$．$QP$ 延长线与 $AD$（或 $AD$ 延长线）交于点 $F$． 2022-04-17 20:27:57
26705 59686e2e22d14000081815ec 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $PA,PB$ 是由 $\odot O$ 外一点 $P$ 引出的两条切线，$M,N$ 分别是线段 $AP,AB$ 的中点，直线 $MN$ 交 $\odot O$ 于 $C,E$ 两点，点 $N$ 在 $M$ 与 $C$ 之间，$PC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$，延长 $ND$ 交 $PB$ 于点 $Q$，证明：四边形 $MNQP$ 为菱形． 2022-04-17 20:26:57
26704 594c888bd373300009d91f90 初中 解答题 其他 正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $O$ 是 $BC$ 边上的一个动点（与 $B,C$ 不重合），以 $O$ 为顶点在 $BC$ 所在直线的上方作 $\angle MON=90^\circ$． 2022-04-17 20:26:57
26703 59782d61fcb236000af09d48 高中 解答题 自招竞赛 设递增数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,4a_{n+1}=5a_n+\sqrt{9a^2_n+16}(n\geqslant1,n\in\mathbb N^*)$． 2022-04-17 20:26:57
26702 5912be0ce020e700094b0d87 高中 解答题 自招竞赛 证明：对 $\forall x , y \in {\mathbb{R}}$，有 ${x^2} + xy + {y^2} \geqslant 3\left( {x + y - 1} \right)$ 恒成立． 2022-04-17 20:25:57
26701 5912bf41e020e700094b0d93 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 边长为 $1$，现对折该正方形，使得 $D$ 始终落在线段 $AB$ 上，求折痕上的点所构成的点集的面积． 2022-04-17 20:24:57
26700 59140449e020e7000878fa79 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\mathrm{e}^{ax}-x $ 且 $f(x)\geqslant 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:24:57
26699 59140692e020e7000878fa7c 高中 解答题 高中习题 若实数 $x,y$ 满足 $x \leqslant y$，则 $[x] \leqslant [y]$． 2022-04-17 20:23:57
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