双曲线 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的离心率为 $\sqrt 2 $，$A\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$ 两点在双曲线上，且 ${x_1} \ne {x_2}$．
【难度】
【出处】
2009年浙江大学自主招生考试
【标注】
-
若线段 $AB$ 的垂直平分线经过点 $Q\left( {4 ,0} \right)$，且线段 $AB$ 的中点坐标为 $\left( {{x_0} , {y_0}} \right)$，试求 ${x_0}$ 的值．标注答案$2$解析由于双曲线的离心率为 $\sqrt 2 $，所以 $a = b$．设直线 $AB$ 的方程为 $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$，则其垂直平分线为 $y = - \dfrac{1}{k}\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$，过点 $\left( {4,0} \right)$，所以 $ - \dfrac{1}{k}\left( {4 - {x_0}} \right) + {y_0} = 0$ 即 $k{y_0} = 4 - {x_0}$．根据双曲线的垂径定理，有$$\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \cdot k = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}},$$所以$${x_0} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \cdot k{y_0} = 4 - {x_0},$$解得 ${x_0} = 2$．
-
双曲线上是否存在这样的点 $A$ 与 $B$，满足 $\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB} $？标注答案不存在解析显然当直线 $AB$ 的斜率不存在时，$\overrightarrow {OA} $ 与 $\overrightarrow {OB} $ 不垂直．
设直线 $AB$ 为 $y = kx + t$，与双曲线 ${x^2} - {y^2} = {a^2}$ 联立有$${x^2} - {y^2} = {a^2} \cdot {\left( {\frac{{y - kx}}{t}} \right)^2},$$即$$\left( {{a^2} + {t^2}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{y}{x}} \right)^2} - 2k{a^2} \cdot \dfrac{y}{x} + \left( {{a^2}{k^2} - {t^2}} \right) = 0.$$因为 $\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB} $，所以$$\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} \cdot \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = - 1,$$所以$$\dfrac{{{a^2}{k^2} - {t^2}}}{{{a^2} + {t^2}}} = - 1,$$无解．
所以，双曲线上不存在这样的点 $A$ 与点 $B$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
