$a,b, c \in {\mathbb{R}}$，$abc \ne 0$，$b \ne c$，$a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0$ 有两个相等根，求证：$\dfrac{1}{a} ,\dfrac{1}{b} , \dfrac{1}{c}$ 成等差数列．
【难度】
【出处】
2006年上海交通大学推优保送生考试
【标注】
【答案】
略
【解析】
容易发现 $x = 1$ 是方程的根，于是$$\dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{a\left( {b - c} \right)}} = 1,$$即$$ac - bc = ab - ac,$$也即$$\dfrac{2}{b} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}.$$所以原命题得证．
答案
解析
备注
