证明：对 $\forall x , y \in {\mathbb{R}}$，有 ${x^2} + xy + {y^2} \geqslant 3\left( {x + y - 1} \right)$ 恒成立．
【难度】
【出处】
2009年中国科学技术大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x \geqslant y$，则原不等式等价于$$ {x^3} - {y^3} \geqslant 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right),$$于是有$${x^3} - 3{x^2} + 3x \geqslant {y^3} - 3{y^2} + 3y,$$所以$${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 \geqslant {y^3} - 3{y^2} + 3y - 1,$$即$$ {\left( {x - 1} \right)^3} \geqslant {\left( {y - 1} \right)^3}.$$其他解法 原不等式等价于$${\left( {x + \dfrac{{y - 3}}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{\left( {y - 1} \right)^2} \geqslant 0;$$等价于$$ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + y - 2} \right)^2} \geqslant 0;$$等价于$$ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) \geqslant 0.$$
答案
解析
备注
