对任一正整数 $k$，$1\leqslant k\leqslant 9$，是否存在相应的二次函数 $f_k\left(\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{p\text{个}}}\right)=\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{2p\text{个}}}$（例如，$k=3$，$p=2$，$\overline{kk}=33$，$f_3(33)=3333$）．若存在，请给出证明及相应二次函数 $f_k(x)$ 的表达式；若不存在，请给出理由．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
存在，$f_k(x)=\dfrac 9k x^2+2x$
【解析】
对任意的正整数 $m$，有$$\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{m\text{个}}}=k\left(10^{m-1}+10^{m-2}+\cdots +1\right)=\dfrac k9\left(10^m-1\right).$$当 $m=2p$ 时，有\[\begin{split}\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{2p\text{个}}}&=\dfrac k9\left(10^{2p}-1\right)\\&=\dfrac k9(10^p-1)(10^p+1)\\&=\dfrac 9k\left[\dfrac k9(10^p-1)\right]^2+2\cdot \dfrac k9(10^p-1)\\&=\dfrac 9k\left(\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{p\text{个}}}\right)^2+\cdot \left(\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{p\text{个}}}\right),\end{split}\]所以对任一正整数 $k$（$1\leqslant k\leqslant 9$），存在二次函数 $f_k(x)=\dfrac 9kx^2+2x$，使得对任意的正整数 $p$，$$f_k\left(\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{p\text{个}}}\right)=\overline{\underbrace{kk\cdots k}_{2p\text{个}}}.$$
答案
解析
备注
