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现有由数字 $1,2 , 3, 4 , 5$ 排列而成的一个五位数组（没有重复数字）．规定：前 $i$ 个数不允许是 $1, 2, \cdots , i$ 的一个排列 $\left( {1 \leqslant i \leqslant 4} \right)$（如 $32154$ 就不可以，因为前三个数是 $1 , 2 ,3$ 的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个？
【难度】
【出处】
2009年浙江大学自主招生考试
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    容斥原理
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
$71$
【解析】
利用容斥原理．
设集合 ${A_i}$（$i = 1 ,2 , 3 ,4$）为由数字 $1 ,2 , 3, 4, 5$ 排列而成的一个五位数组（没有重复数字）组成的集合，且前 $i$ 个数是 $1 , 2 , \cdots ,i$ 的一个排列．则$$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup {A_4}} \right)$$为所求．
$\operatorname{card} {A_1} = 4! = 24$；
$\operatorname{card} {A_2} = 2! \times 3! = 12$；
$\operatorname{card} {A_3} = 3! \times 2! = 12$；
$\operatorname{card} {A_4} = 4! = 24$；
$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 3! = 6$；
$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_3}} \right) = 2! \times 2! = 4$；$
\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_4}} \right) = 3! = 6$；
$\operatorname{card} \left( {{A_2} \cap {A_3}} \right) = 2! \times 2! = 4$；
$\operatorname{card} \left( {{A_2} \cap {A_4}} \right) = 2! \times 2! = 4$；
$\operatorname{card} \left( {{A_3} \cap {A_4}} \right) = 3! = 6$；
$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right) = 2! = 2$；
$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_4}} \right) = 2! = 2$；
$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_3} \cap {A_4}} \right) = 2! = 2$；
$\operatorname{card} \left( {{A_2} \cap {A_3} \cap {A_4}} \right) = 2! = 2$；
$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3} \cap {A_4}} \right) = 1$．
所以$$\operatorname{card} \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup {A_4}} \right) = 49.$$所以满足这种条件的数组共有 $5! - 49 = 71$ 个．
答案 解析 备注
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