已知 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$，设二次函数 $f\left( x \right) = - {a^2}{x^2} + ax + c$，其中 $a ,c$ 均为实数．证明：对于任意 $x \in \left[ {0 ,1} \right]$，均有 $f\left( x \right) \leqslant 1$ 成立的充要条件是 $c \leqslant \dfrac{3}{4}$．
【难度】
【出处】
2009年浙江大学自主招生考试
【标注】
【答案】
略
【解析】
$f\left( x \right) \leqslant 1$，即$$ {\left( {ax} \right)^2} - ax + 1 - c \geqslant 0,$$也即$$ {\left( {ax - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \left( {\dfrac{3}{4} - c} \right) \geqslant 0.$$考虑到在 $x \in \left[ {0 , 1} \right]$ 时，$ax$ 可以取到 $\dfrac{1}{2}$．
所以，原命题得证．
所以，原命题得证．
答案
解析
备注
