如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC=120^\circ$，$AB=AC=2$，点 $D$ 是 $BC$ 边上的一个动点（不与 $B,C$ 重合），在 $AC$ 上取一点 $E$，使 $\angle ADE=30^\circ$，
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
设 $BD=x,AE=y$，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并写出自变量 $x$ 的取值范围；标注答案$y=\dfrac 12x^2-\sqrt 3x+2$（$0<x<2\sqrt 3$）解析因为在等腰三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC=120^\circ$，
所以 $\angle ABD=\angle ACB=30^\circ$，
所以 $\angle ABD=\angle ADE$，
因为 $\angle ADC=\angle ADE+\angle EDC=\angle ABD+\angle DAB$，
所以 $\angle EDC=\angle DAB$，
所以 $\triangle ABD\backsim \triangle DCE$，
根据题意可得 $BC=2\sqrt 3$，
设 $BD=x,AE=y$，
则 $DC=2\sqrt 3-x,EC=2-y$，
因为 $\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{DC}{CE}$，即 $\dfrac{2}{x}=\dfrac{2\sqrt 3-x}{2-y}$，
所以 $y=\dfrac 12x^2-\sqrt 3x+2$（$0<x<2\sqrt 3$）． -
当 $\triangle ADE$ 是等腰三角形时，求 $AE$ 的长．标注答案当 $\triangle ADE$ 是等腰三角形时，$AE=4-2\sqrt 3$ 或 $AE=\dfrac 23$解析当 $AD=DE$ 时，
此时 $\triangle ABD\cong \triangle DCE$．
则 $AB=CD$，即 $2=2\sqrt 3-x$，
$x=2\sqrt 3-2$，代入 $y=\dfrac 12x^2-\sqrt 3x+2$，
解得 $y=4-2\sqrt 3$，$AE=4-2\sqrt 3$．
当 $AE=ED$ 时，
$\angle EAD=\angle EDA=30^\circ$，$\angle AED=120^\circ$．
所以 $\angle DEC=60^\circ$，$\angle EDC=90^\circ$．
则 $ED=\dfrac 12 EC$，即 $y=\dfrac 12(2-y)$，
解得 $y=\dfrac 23$，即 $AE=\dfrac 23$．
当 $AD=AE$ 时，
$\angle AED=\angle EDA=30^\circ$，$\angle EAD=120^\circ$，
此时点 $D$ 和点 $B$ 重合，与题目不符，此情况不存在，
所以当 $\triangle ADE$ 是等腰三角形时，$AE=4-2\sqrt 3$ 或 $AE=\dfrac 23$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
