设 $k \geqslant 9$，解方程 ${x^3} + 2k{x^2} + {k^2}x + 9k + 27 = 0$．
【难度】
【出处】
2006年上海交通大学推优保送生考试
【标注】
【答案】
$\left\{\dfrac{{3 - k \pm \sqrt {{{\left( {k - 3} \right)}^2} - 36} }}{2}, - k - 3\right\}$
【解析】
原方程可整理为$$ x \cdot {k^2} + \left( {2{x^2} + 9} \right)k + {x^3} + 27 = 0.$$注意到 $x \ne 0$，而$$\Delta = {\left( {2{x^2} + 9} \right)^2} - 4x\left( {{x^3} + 27} \right) = {\left( {6x - 9} \right)^2},$$所以$$k = \dfrac{{ - \left( {2{x^2} + 9} \right) \pm \left( {6x - 9} \right)}}{{2x}},$$即$${x^2} + \left( {k - 3} \right)x + 9 = 0\lor x = - k - 3.$$所以解得$$x = \dfrac{{3 - k \pm \sqrt {{{\left( {k - 3} \right)}^2} - 36} }}{2}\lor x = - k - 3.$$
答案
解析
备注
