$P,Q$ 分别是圆 ${x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1$ 与抛物线 $y = {x^2}$ 上的点，求 $\left| {PQ} \right|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2009年上海交通大学自主招生保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\sqrt {11} }}{2} - 1$
【解析】
只需要计算圆心 $\left( {0,3} \right)$ 到抛物线 $y = {x^2}$ 上的点的最小距离．
设 $y = {x^2}$ 上一点为 $\left( {x,{x^2}} \right)$，则\[{d^2}\left( x \right) = {x^2} + {\left( {{x^2} - 3} \right)^2} = {x^4} - 5{x^2} + 9 = {\left( {{x^2} - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4}.\]所以$${\left[ {d\left( x \right)} \right]_{\min }} = \sqrt {\dfrac{{11}}{4}},$$于是 $\dfrac{{\sqrt {11} }}{2} - 1$ 为所求．
设 $y = {x^2}$ 上一点为 $\left( {x,{x^2}} \right)$，则\[{d^2}\left( x \right) = {x^2} + {\left( {{x^2} - 3} \right)^2} = {x^4} - 5{x^2} + 9 = {\left( {{x^2} - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4}.\]所以$${\left[ {d\left( x \right)} \right]_{\min }} = \sqrt {\dfrac{{11}}{4}},$$于是 $\dfrac{{\sqrt {11} }}{2} - 1$ 为所求．
答案
解析
备注
