已知椭圆 $T:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）和双曲线 $S:\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1$（$m>0,n>0$）具有相同的焦点 $F(2,0)$．设双曲线 $S$ 在第一象限的渐近线为 $l$，若焦点 $F$ 和椭圆 $T$ 的上方的顶点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点都在双曲线 $S$ 上，求椭圆 $T$ 和双曲线 $S$ 的方程．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$T:\dfrac{11x^2}{60}+\dfrac{11y^2}{16}=1$；$S:\dfrac{5x^2}{4}-\dfrac{5y^2}{16}=1$
【解析】
由已知$$a^2-b^2=m^2+n^2=4,$$渐近线 $l$ 的方程为 $y=\dfrac nm x$，经过焦点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l'$ 的方程为$$y=-\dfrac mn(x-2).$$由$$\begin{cases}y=\dfrac nm x,\\ y=-\dfrac mn(x-2),\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=\dfrac{2m^2}{m^2+n^2},\\ y=\dfrac{2mn}{m^2+n^2}.\end{cases}$$已知 $m^2+n^2=4$，所以直线 $l$ 和 $l'$ 相交于点 $\left(\dfrac{m^2}{2},\dfrac{mn}{2}\right)$，则焦点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F'(m^2-2,mn)$．
由已知，点 $F'$ 在双曲线 $S$ 上，所以$$\dfrac{(m^2-2)^2}{m^2}-\dfrac{m^2n^2}{n^2}=1.$$解得 $m^2=\dfrac 45$，$n^2=4-m^2=\dfrac{16}{5}$，所以双曲线 $S$ 的方程为$$\dfrac{5x^2}{4}-\dfrac{5y^2}{16}=1,$$故渐近线 $l$ 的方程为 $y=2x$．
椭圆 $T$ 上方的顶点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$，经过点 $B$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l''$ 的方程为$$y=-\dfrac 12 x +b,$$由$$\begin{cases}y=2x,\\ y=-\dfrac 12 x+b.\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=\dfrac 25 b,\\ y=\dfrac 45 b,\end{cases}$$即直线 $l$ 与直线 $l''$ 相交于点 $\left(\dfrac 25 b,\dfrac 45 b\right)$，所以点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B'$ 的坐标为 $\left(\dfrac 45 b,\dfrac 35b\right)$．
已知点 $B'$ 在双曲线 $S$ 上，所以$$\dfrac{5\cdot \left(\dfrac 45 b\right)^2}{4}-\dfrac{5\cdot \left(\dfrac 35 b\right)^2}{16}=1,$$解得 $b^2=\dfrac{16}{11}$，$a^2=b^2+4=\dfrac{60}{11}$，所以椭圆 $T$ 的方程为$$\dfrac{11x^2}{60}+\dfrac{11y^2}{16}=1.$$
由已知，点 $F'$ 在双曲线 $S$ 上，所以$$\dfrac{(m^2-2)^2}{m^2}-\dfrac{m^2n^2}{n^2}=1.$$解得 $m^2=\dfrac 45$，$n^2=4-m^2=\dfrac{16}{5}$，所以双曲线 $S$ 的方程为$$\dfrac{5x^2}{4}-\dfrac{5y^2}{16}=1,$$故渐近线 $l$ 的方程为 $y=2x$．
椭圆 $T$ 上方的顶点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$，经过点 $B$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l''$ 的方程为$$y=-\dfrac 12 x +b,$$由$$\begin{cases}y=2x,\\ y=-\dfrac 12 x+b.\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=\dfrac 25 b,\\ y=\dfrac 45 b,\end{cases}$$即直线 $l$ 与直线 $l''$ 相交于点 $\left(\dfrac 25 b,\dfrac 45 b\right)$，所以点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B'$ 的坐标为 $\left(\dfrac 45 b,\dfrac 35b\right)$．
已知点 $B'$ 在双曲线 $S$ 上，所以$$\dfrac{5\cdot \left(\dfrac 45 b\right)^2}{4}-\dfrac{5\cdot \left(\dfrac 35 b\right)^2}{16}=1,$$解得 $b^2=\dfrac{16}{11}$，$a^2=b^2+4=\dfrac{60}{11}$，所以椭圆 $T$ 的方程为$$\dfrac{11x^2}{60}+\dfrac{11y^2}{16}=1.$$
答案
解析
备注
