在坐标网格中，以每个格点为中心各有一个半径 $\frac{1}{10}$ 的圆和一个边长 $\frac{1}{5}$ 的正方形（各边平行于坐标轴）。端点为 $\left( 0\text{,}0 \right)\text{,}\left( 1001\text{,}429 \right)$ 的线段穿过了 $m$ 个正方形和 $n$ 个圆。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
574
【解析】
$1001\text{=}143\cdot7,429=143\cdot 3$，所以直线方程为 $l\text{:}y\text{=}\frac{3}{7}x$ 。我们考虑直线 $l$ 从 $\left(7k\text{,}3k \right)$ 到 $\left( 7\left( k+1 \right)\text{,}3\left( k+1 \right)\right)$ 的部分。其间 $x$ 坐标为整数的点为 $\left( 0\text{,}0 \right)\text{,}\left(1\text{,}\frac{3}{7} \right)\text{,}\left( 2\text{,}\frac{6}{7}\right)\text{,}\left( 3\text{,}1+\frac{2}{7} \right)\text{,}\left(4\text{,}1+\frac{5}{7} \right)\text{,}\left( 5\text{,}2+\frac{1}{7}\right)\text{,}\left( 6\text{,}2+\frac{4}{7} \right)\text{,}\left( 7\text{,}3\right)$，注意到以 $\left( 2\text{,}1 \right)$ 为中心的正方形的右下方顶点 $\left(2+\frac{1}{10}\text{,}1-\frac{1}{10} \right)\text{=}\left(\frac{21}{10}\text{,}\frac{9}{10} \right)$ 在直线上。因为以 $\left( 2\text{,}1 \right)$ 为圆心的圆在正方形内部，所以直线与圆无交点。同理，以 $\left(5\text{,}2 \right)$ 为中心的正方形的左上方顶点在直线上，故同中心的圆与直线无交点。因为之前所列的点离格点的距离更远，恰有两个中心在 $\left(0\text{,}0 \right)\text{,}\left( 7\text{,}3 \right)$ 之间的正方形与 $l$ 相交。因为共有 $\frac{1001}{7}\text{=}\frac{429}{3}\text{=}143$ 段，所以一共有 $143\cdot2\text{=}286$ 个中心不在直线上的小正方形与直线相交。直线 $l$ 上共有 $144$ 个格点，故分别有 $144$ 个圆和正方形与直线相交。故总数为 $m+n\text{=}286+288\text{=}574$
答案
解析
备注
