非负整数 $a\text{,}b$ 有 $a\text{,}b\leqslant 6$，令 $T\left( a\text{,}b \right)\text{=}\left( \begin{matrix}
6 \\
a \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
b \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
a+b \\
\end{matrix}\right)$ 。对所有满足条件的 $a\text{,}b$，记 $S$ 为其对应的 $T\left( a\text{,}b \right)$ 的和。求 $S$ 模 $1000$ 的值
6 \\
a \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
b \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
a+b \\
\end{matrix}\right)$ 。对所有满足条件的 $a\text{,}b$，记 $S$ 为其对应的 $T\left( a\text{,}b \right)$ 的和。求 $S$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
564
【解析】
令 $c\text{=}6-\left( a+b \right)$ 。则题目所求为满足 $a+b+c\text{=}6$ 的全部 $\left(\begin{matrix}
6 \\
a \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
b \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
c \\
\end{matrix} \right)$ 之和。考虑 $6\times 3$ 的点阵，则所求表达式为从这 $18$ 个点中选出六个不同点的方法数。 $\left(\begin{matrix}18 \\
6 \\
\end{matrix}\right)\text{=}18564$，故所求值为 $564$
6 \\
a \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
b \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
c \\
\end{matrix} \right)$ 之和。考虑 $6\times 3$ 的点阵，则所求表达式为从这 $18$ 个点中选出六个不同点的方法数。 $\left(\begin{matrix}18 \\
6 \\
\end{matrix}\right)\text{=}18564$，故所求值为 $564$
答案
解析
备注
